Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim x 0 x sen xsen(2 x^2);

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0 xsin xsin(2x^2). O tema aqui é limite de função e vamos usar o limite fundamental limuto0 sin uu=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão para isolar fatores que dão esse limite conhecido. Observe que xsin x=(sin xx)x^2, logo:
xsin xsin(2x^2)=sin xxcdotx^2sin(2x^2)

Passo 3

Agora tratamos cada fator. Para o primeiro já temos limxto0sin xx=1. Para o segundo escrevemos:
x^2sin(2x^2)=12cdot2x^2sin(2x^2)
E como limxto0sin(2x^2)2x^2=1, segue limxto02x^2sin(2x^2)=1.

Passo 4

Multiplicando os limites: do primeiro fator vem 1, da constante 1/2 e do segundo fator vem 1. Assim limxto0 xsin xsin(2x^2)=tfrac12.

Resposta

\tfrac12

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