Demonstre que:
Passo 1
A gente quer provar que para um campo vetorial suave
vale
. O conteúdo aqui é uma identidade de cálculo vetorial: divergência do rotacional. Vamos precisar das definições de divergência, rotacional e do teorema que garante a comutação das derivadas parciais mistas.
Passo 2
O rotacional de
é definido por componentes como
$$\nabla \times \mathbf{v} = \bigl(,\partial_y v_z - \partial_z v_y,; \partial_z v_x - \partial_x v_z,; \partial_x v_y - \partial_y v_x\bigr).
$$
Passo 3
A divergência de um vetor
é
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z.
$$
Passo 4
Aplicando essa definição ao vetor
, temos
Passo 5
Expandindo as derivadas, chega-se a
Passo 6
Como
é suave, as derivadas parciais mistas comutam, isto é, por exemplo,
. Cada termo cancela com outro de sinal oposto, provando que
.
Resposta
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