Demonstre que:
nabla cdot stackrel凶v=0

Passo 1

A gente quer provar que para um campo vetorial suave v(x,y,z) vale nabla cdot (nabla times v) = 0. O conteúdo aqui é uma identidade de cálculo vetorial: divergência do rotacional. Vamos precisar das definições de divergência, rotacional e do teorema que garante a comutação das derivadas parciais mistas.

Passo 2

O rotacional de v é definido por componentes como
$$\nabla \times \mathbf{v} = \bigl(,\partial_y v_z - \partial_z v_y,; \partial_z v_x - \partial_x v_z,; \partial_x v_y - \partial_y v_x\bigr).
$$

Passo 3

A divergência de um vetor F=(Fx,Fy,Fz) é
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z.
$$

Passo 4

Aplicando essa definição ao vetor F=nabla times v, temos
nabla cdot (nabla times v) = partialpartial xl(partialy vz - partialz vyr) + partialpartial yl(partialz vx - partialx vzr) + partialpartial zl(partialx vy - partialy vxr)

Passo 5

Expandindo as derivadas, chega-se a
partial^2 vzpartial xpartial y - partial^2 vypartial xpartial z + partial^2 vxpartial ypartial z - partial^2 vzpartial ypartial x + partial^2 vypartial zpartial x - partial^2 vxpartial zpartial y

Passo 6

Como v é suave, as derivadas parciais mistas comutam, isto é, por exemplo, partial^2 vz/partial xpartial y = partial^2 vz/partial ypartial x. Cada termo cancela com outro de sinal oposto, provando que nabla cdot (nabla times v)=0.

Resposta

0

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