Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
lim (x, y) (0,0) 4 x^2+3 y^2+x^3 y^3x^2+y^2+x^4 y^4

Passo 1

Aqui temos um limite de uma função de duas variáveis, onde queremos encontrar o valor quando (x, y) se aproxima de (0,0). Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e analisar como a função se comporta ao se aproximar desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dada:
4x^2 + 3y^2 + x^3y^3x^2 + y^2 + x^4y^4
Quando (x, y) se aproxima de (0,0), os termos com maior potência (como x^3y^3 e x^4y^4) se tornam muito pequenos e quase insignificantes comparados aos termos com menor potência ( x^2 e y^2). Então, para simplificar, podemos considerar apenas os termos de menor grau.

Passo 3

Simplificando a função, ficamos com:
4x^2 + 3y^2x^2 + y^2
Isso porque os termos x^3y^3 e x^4y^4 tendem a zero mais rapidamente do que x^2 e y^2 quando (x, y) to (0,0).

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite da função simplificada:
lim(x, y) to (0,0) 4x^2 + 3y^2x^2 + y^2
Para ver se esse limite existe e é único, precisamos verificar se ele dá o mesmo valor independentemente do caminho que (x, y) toma para se aproximar de (0,0).

Passo 5

Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos:
  • Caminho 1: Se y = 0,
4x^2 + 3(0)^2x^2 + (0)^2 = 4x^2x^2 = 4
  • Caminho 2: Se x = 0,
4(0)^2 + 3y^2(0)^2 + y^2 = 3y^2y^2 = 3
  • Caminho 3: Se y = x,
4x^2 + 3x^2x^2 + x^2 = 7x^22x^2 = 72

Passo 6

Observamos que os limites ao longo de diferentes caminhos resultam em valores diferentes (4, 3 e 72). Isso significa que o limite depende da direção pela qual (x, y) se aproxima de (0,0) e, portanto, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados