Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
Passo 1
Aqui temos um limite de uma função de duas variáveis, onde queremos encontrar o valor quando
se aproxima de
. Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e analisar como a função se comporta ao se aproximar desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Quando
se aproxima de
, os termos com maior potência (como
e
) se tornam muito pequenos e quase insignificantes comparados aos termos com menor potência (
e
). Então, para simplificar, podemos considerar apenas os termos de menor grau.
Passo 3
Simplificando a função, ficamos com:
Isso porque os termos
e
tendem a zero mais rapidamente do que
e
quando
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite da função simplificada:
Para ver se esse limite existe e é único, precisamos verificar se ele dá o mesmo valor independentemente do caminho que
toma para se aproximar de
.
Passo 5
Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos:
- Caminho 1: Se
,
- Caminho 2: Se
,
- Caminho 3: Se
,
Passo 6
Observamos que os limites ao longo de diferentes caminhos resultam em valores diferentes (4, 3 e
). Isso significa que o limite depende da direção pela qual
se aproxima de
e, portanto, o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.