Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada função a seguir.
f(x)=x-2x+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x)=x-2x+2
é crescente ou decrescente. Esse é um problema de estudo de monotonicidade, então vamos usar a primeira derivada para analisar o sinal de f'(x).

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f. Como o denominador não pode ser zero,
x+2neq0
logo o domínio é
(-infty,-2)cup(-2,infty)

Passo 3

Agora calculamos a derivada pelo quociente. Para
f(x)=u(x)v(x)
com u(x)=x-2 e v(x)=x+2, temos
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =1cdot(x+2)-(x-2)cdot1(x+2)^2 =4(x+2)^2

Passo 4

Observamos que f'(x)=4(x+2)^2 é sempre positiva em todo o domínio (o numerador é 4>0 e o denominador é quadrado, portanto >0). Assim, não há intervalo em que f'(x)<0.

Resposta

A função é crescente em
(-infty,-2)e(-2,infty),
e não é decrescente em nenhum intervalo de seu domínio.

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