Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=2 x+x^2;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função quadrática f(x)=x^2+2x e determinar o conjunto imagem Im(f). O conteúdo é estudo de parábolas e completamento de quadrado para encontrar vértice e valor mínimo.

Passo 2

Para identificar vértice e valor mínimo, completamos o quadrado em f(x):
f(x)=x^2+2x=(x^2+2x+1)-1=(x+1)^2-1

Passo 3

A forma (x+1)^2-1 mostra que a parábola tem vértice em l(-1,-1r) e concavidade voltada para cima. Os interceptos com os eixos são:
f(0)=0, f(-2)=(-2+1)^2-1=0,
ou seja, cruza o eixo x em (-2,0) e (0,0), e o eixo y em (0,0). Para esboçar, basta traçar o vértice, os pontos de intercepto e desenhar uma parábola simétrica em torno de x=-1.

Passo 4

Como (x+1)^2>=0 para todo x, o menor valor de f(x) é -1, atingido no vértice. Portanto o conjunto imagem é
,yinRmid y>= -1=[-1,infty)

Resposta

Im(f)=[-1,infty)

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