Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
lim (x, y) (2,3) x^2 y+y^3+x^2+y^2raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite quando (x, y) se aproxima de (2,3) da função x^2 y + y^3 + x^2 + y^2raizx^2+y^2. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e vamos precisar entender como substituir os valores e simplificar a expressão para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador raizx^2 + y^2. Isso representa a distância do ponto (x, y) até a origem no plano. Queremos garantir que esse denominador não seja zero quando (x, y) se aproxima de (2,3).

Passo 3

Vamos substituir x = 2 e y = 3 no denominador:
raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13
Como raiz13 não é zero, não temos problema de divisão por zero.

Passo 4

Agora, vamos substituir x = 2 e y = 3 no numerador:
x^2 y + y^3 + x^2 + y^2 = 2^2 cdot 3 + 3^3 + 2^2 + 3^2 = 4 cdot 3 + 27 + 4 + 9 = 12 + 27 + 4 + 9 = 52

Passo 5

Com os valores do numerador e denominador calculados, podemos escrever o limite:
lim (x, y) (2,3) 52raiz13 = 52raiz13

Passo 6

Para simplificar 52raiz13, podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por raiz13:
52raiz13 cdot raiz13raiz13 = 52 raiz1313 = 4 raiz13

Resposta

O limite é 4 raiz13.

Exercícios relacionados