Determine o limite infinito.
lim x (-m / 2)^- sec x𝕞

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtol(-tfracpi2r)^-sec x
ou seja, de qual valor a função sec x tende quando x se aproxima de -tfracpi2 por valores menores (pela esquerda). O conteúdo é comportamento de funções trigonométricas perto de pontos onde o cosseno se anula.

Passo 2

Lembrando que
sec x = 1cos x,
o limite será determinado por como cos x se comporta quando xto(-tfracpi2)^-.

Passo 3

Para x ligeiramente menor que -tfracpi2, podemos escrever x = -tfracpi2 - varepsilon com varepsilon>0 pequeno. Então
cos x = cosl(-tfracpi2-varepsilonr) =cosl(tfracpi2+varepsilonr) =-sin(varepsilon)
Como varepsilonto0^+, temos sin(varepsilon)approxvarepsilon>0, logo
cos x approx -varepsilon < 0
e tende a zero pela negativa.

Passo 4

Se cos xto0^-, então
sec x = 1cos xto -infty,
pois o recíproco de um número que vai a zero pela esquerda diverge negativamente.

Resposta

limxto(-tfracpi2)^-sec x = -infty

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