Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.
y^prime prime+3 y^prime=cos x, y(pi)=0, y^prime(pi)=-2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + 3y' = cos x, y(pi)=0, y'(pi)=-2
e pede o maior intervalo onde existe uma única solução C^2. O conteúdo é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de segunda ordem.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y'' = f(x,y,y'),com f(x,y,y') = cos x - 3y'

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade), precisamos que f, partial f/partial y e partial f/partial y' sejam contínuas em (x,y,y'). Aqui
f(x,y,y') = cos x - 3y', partial fpartial y = 0, partial fpartial y' = -3,
todas funções contínuas em R^3.

Passo 4

Como não há ponto de descontinuidade ou singularidade para f, a solução única C^2 definida em torno de x0=pi se estende para todo xinR.

Resposta

O maior intervalo de existência e unicidade é (-infty,infty).

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