Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=x^2-2 x+1;

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função quadrática e a determinação do conjunto imagem, ou seja, Im(f), para
f(x)=x^2-2x+1
O conteúdo envolvido é o de funções polinomiais do 2º grau: vamos usar completamento de quadrado para achar o vértice, entender a concavidade e extrair o valor mínimo da função.

Passo 2

Reescrevendo por completamento de quadrado temos
f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2
Dessa forma fica claro que a parábola abre para cima (coeficiente de x^2 positivo) e está deslocada para a direita em uma unidade com vértice em x=1.

Passo 3

Do formato (x-1)^2 concluímos que o vértice é o ponto
(1,0),
o eixo de simetria é a reta x=1 e, por exemplo,
f(0)=1, f(2)=1,
o que dá dois pontos simétricos sobre o vértice. Esses pontos ajudam a esboçar a forma em “U” da parábola, interceptando o eixo y em (0,1).

Passo 4

Como (x-1)^2>=0 para todo xinR, o valor mínimo de f é
f(1)=0
e não há valor máximo (a parábola cresce indefinidamente). Portanto o conjunto imagem é
Im(f)=[0,infty)

Resposta

O gráfico é uma parábola com vértice em (1,0) que abre para cima, interceptando o eixo y em (0,1) e (2,1).
Im(f)=[0,infty).

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