Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=x^2-42-x;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2-42-x
e pede para esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem Im(f). Vamos precisar analisar o domínio, simplificar a expressão para identificar o tipo de curva e então ver que valores y realmente são atingidos.

Passo 2

Note que x^2-4=(x-2)(x+2) e 2-x=-(x-2). Logo, para xneq2 temos
f(x)=(x-2)(x+2)2-x=(x-2)(x+2)-(x-2)=-(x+2)
O domínio é xinRmid xneq2 e, fora de x=2, f(x) é a reta y=-(x+2).

Passo 3

A equação da reta é
y = -,x - 2
mas em x=2 a função não está definida. Nesse ponto a reta teria o valor
y=-(2)-2=-4,
porém há um buraco (círculo vazio) em (2,-4).

Passo 4

Esboço do gráfico no plano xy:
  • Trace a reta de coeficiente angular -1 e intercepto em (0,-2).
  • Marque alguns pontos: em x=1, y=-3; em x=3, y=-5.
  • Em x=2 deixe um círculo vazio em (2,-4).
Dessa forma o gráfico é uma reta contínua exceto naquele ponto removido.

Passo 5

Para a reta y=-x-2, sem restrições, a imagem seria R. Mas o único y que deixamos de atingir é o que corresponderia ao x=2, ou seja y=-4. Não há outro xneq2 tal que -x-2=-4. Portanto
Im(f)=Rsetminus-4

Resposta

Im(f)=Rsetminus-4

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