Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria aqui é sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar verificar se a função é contínua no ponto (1,1) e, se for, simplesmente calcular o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre continuidade. Uma função de duas variáveis é contínua em um ponto se, ao se aproximar desse ponto de qualquer direção, o valor da função também se aproxima de um único valor. Se a função é contínua no ponto que estamos analisando, calcular o limite é só igualar o limite ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a nossa função,
, é contínua no ponto (1,1). Sabemos que
é uma função contínua para todo valor de x, e
também é contínua para todo valor de y. Como o produto de funções contínuas continua sendo contínuo, nossa função inteira é contínua no ponto (1,1).
Passo 4
Como a função é contínua no ponto (1,1), podemos calcular o limite simplesmente substituindo x por 1 e y por 1 na função:
Sabemos que
, então: