Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
lim (x, y) (1,1) e^x cos (pi y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (1,1) e^x cos (pi y). A matéria aqui é sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar verificar se a função é contínua no ponto (1,1) e, se for, simplesmente calcular o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre continuidade. Uma função de duas variáveis é contínua em um ponto se, ao se aproximar desse ponto de qualquer direção, o valor da função também se aproxima de um único valor. Se a função é contínua no ponto que estamos analisando, calcular o limite é só igualar o limite ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a nossa função, e^x cos (pi y), é contínua no ponto (1,1). Sabemos que e^x é uma função contínua para todo valor de x, e cos(pi y) também é contínua para todo valor de y. Como o produto de funções contínuas continua sendo contínuo, nossa função inteira é contínua no ponto (1,1).

Passo 4

Como a função é contínua no ponto (1,1), podemos calcular o limite simplesmente substituindo x por 1 e y por 1 na função:
e^1 cos (pi cdot 1) = e cdot cos(pi)
Sabemos que cos(pi) = -1, então:
e cdot (-1) = -e

Resposta

-e

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