Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede o maior intervalo em que certamente existe e é única uma solução
. O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade para equações de segunda ordem na forma padrão.
Passo 2
Para aplicar o teorema, primeiro colocamos em forma padrão dividindo por
(desde que
):
Aqui identificamos
e o coeficiente principal antes de
é
(já está isolado), mas o divisor original
não pode ser zero.
Passo 3
O Teorema de existência e unicidade exige que
,
e
sejam contínuas num intervalo que contenha o ponto inicial
e que o coeficiente de
(aqui
antes de dividir) não se anule nesse intervalo.
Observamos que ,
e
têm singularidade em
, e o coeficiente
se anula em
. Logo, não existe nenhum intervalo aberto que contenha
no qual possamos garantir pelas hipóteses do teorema a existência e unicidade de uma solução duas vezes diferenciável.
Observamos que
Passo 4
Se quiséssemos, podemos aplicar o teorema em qualquer intervalo aberto que não contenha zero, por exemplo
ou
, pois aí
e
são contínuas. Mas nenhum desses intervalos contém o ponto inicial
, de modo que para o PV inicial dado em
não há intervalo aberto onde o teorema garanta a solução única.
Resposta
Não existe nenhum intervalo aberto que contenha
em que se possa assegurar, pelas condições do teorema de existência e unicidade, a presença de uma solução
única.