Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.
x^2 y^prime prime+2 x y^prime-y=e^x, y(0)=2, y^prime(0)=5

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x^2y''+2xy'-y=e^x, y(0)=2, y'(0)=5,
e pede o maior intervalo em que certamente existe e é única uma solução yin C^2. O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade para equações de segunda ordem na forma padrão.

Passo 2

Para aplicar o teorema, primeiro colocamos em forma padrão dividindo por x^2 (desde que xneq0):
y''+2xy'-1x^2y=e^xx^2
Aqui identificamos
p(x)=2x, q(x)=-1x^2, r(x)=e^xx^2,
e o coeficiente principal antes de y'' é 1 (já está isolado), mas o divisor original x^2 não pode ser zero.

Passo 3

O Teorema de existência e unicidade exige que p(x), q(x) e r(x) sejam contínuas num intervalo que contenha o ponto inicial x0 e que o coeficiente de y'' (aqui x^2 antes de dividir) não se anule nesse intervalo.
Observamos que p(x), q(x) e r(x) têm singularidade em x=0, e o coeficiente x^2 se anula em x=0. Logo, não existe nenhum intervalo aberto que contenha x=0 no qual possamos garantir pelas hipóteses do teorema a existência e unicidade de uma solução duas vezes diferenciável.

Passo 4

Se quiséssemos, podemos aplicar o teorema em qualquer intervalo aberto que não contenha zero, por exemplo (0,infty) ou (-infty,0), pois aí x^2neq0 e p,q,r são contínuas. Mas nenhum desses intervalos contém o ponto inicial x=0, de modo que para o PV inicial dado em x=0 não há intervalo aberto onde o teorema garanta a solução única.

Resposta

Não existe nenhum intervalo aberto que contenha x=0 em que se possa assegurar, pelas condições do teorema de existência e unicidade, a presença de uma solução C^2 única.

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