Determine a reta tangente a curva dada pela equação polar r=cos 2 theta em :
theta=pi.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva polar ,r=cos(2theta), no ponto definido por theta=pi. O conteúdo aqui é derivada em coordenadas polares e conversão para equação de reta.

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto de tangência em coordenadas cartesianas. Para theta=pi:
r(pi)=cos(2pi)=1
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x=rcostheta=1cdotcospi=-1,
y=rsintheta=1cdotsinpi=0
O ponto é (-1,0).

Passo 3

Em coordenadas polares, a derivada dydx se calcula por
dydx = drdtheta,sintheta ;+;rcostheta drdtheta,costheta ;-;rsintheta
Aqui drdtheta=-2sin(2theta).

Passo 4

Avaliaremos em theta=pi:
drdtheta|theta=pi=-2sin(2pi)=0
Substituindo na fórmula de dydx,
dydx|theta=pi = 0cdotsinpi+1cdotcospi0cdotcospi-1cdotsinpi =-10,
que indica inclinação vertical.

Passo 5

Reta vertical passando por (-1,0) tem equação
x=-1

Resposta

x=-1

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