Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
lim (x, y) (0,1) e^x y cos (pi x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função e^x y cos (pi x y) quando (x, y) se aproxima de (0,1). Isso faz parte da matéria de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar limites de funções compostas e usar propriedades de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas partes da função separadamente: e^x y e cos(pi x y) . Tanto a função exponencial quanto a função cosseno são contínuas em todo o seu domínio, o que significa que a gente pode calcular o limite delas simplesmente substituindo os valores de x e y pelos valores que elas estão se aproximando.

Passo 3

Vamos calcular o limite de e^x y quando (x, y) (0,1):
lim(x, y) (0,1) e^x y = e^0 times 1 = e^0 = 1
Agora, vamos calcular o limite de cos(pi x y) quando (x, y) (0,1):
lim(x, y) (0,1) cos(pi x y) = cos(pi times 0 times 1) = cos(0) = 1

Passo 4

Finalmente, como a função original é o produto dessas duas funções, o limite do produto é o produto dos limites:
lim(x, y) (0,1) e^x y cos (pi x y) = ( lim(x, y) (0,1) e^x y ) times ( lim(x, y) (0,1) cos (pi x y) ) = 1 times 1 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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