Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
lim (x, y) (0,0) sen(x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de sin(xy) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse tipo de problema faz parte do cálculo multivariável, onde estudamos limites de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta próximo do ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando estamos calculando limites de funções de duas variáveis, como essa, uma estratégia comum é tentar simplificar a expressão ou relacioná-la a limites que já conhecemos.

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de um ângulo z, a função seno pode ser aproximada por z. Isso vem da seguinte aproximação trigonométrica:
limz to 0 sin(z)z = 1 ou seja, sin(z) approx z quando z to 0
Esse é um resultado fundamental que nos ajuda a simplificar expressões envolvendo o seno.

Passo 4

Aplicando essa ideia à nossa função sin(xy), podemos dizer que, quando xy é próximo de zero (o que acontece quando (x, y) se aproxima de (0,0)), temos:
sin(xy) approx xy
Então, o limite de sin(xy) será aproximadamente o limite de xy nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de xy quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse limite é mais simples de avaliar:
lim(x, y) to (0,0) xy = 0 times 0 = 0
Isso porque tanto x quanto y estão se aproximando de zero.

Passo 6

Com isso, como sin(xy) approx xy perto de (0,0) e o limite de xy é zero, concluímos que:
lim(x, y) to (0,0) sin(xy) = 0

Resposta

lim(x, y) (0,0) sen(x y) = 0

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