Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Esse tipo de problema faz parte do cálculo multivariável, onde estudamos limites de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta próximo do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando estamos calculando limites de funções de duas variáveis, como essa, uma estratégia comum é tentar simplificar a expressão ou relacioná-la a limites que já conhecemos.
Passo 3
Sabemos que para valores pequenos de um ângulo
, a função seno pode ser aproximada por
. Isso vem da seguinte aproximação trigonométrica:
Esse é um resultado fundamental que nos ajuda a simplificar expressões envolvendo o seno.
Passo 4
Aplicando essa ideia à nossa função
, podemos dizer que, quando
é próximo de zero (o que acontece quando
se aproxima de
), temos:
Então, o limite de
será aproximadamente o limite de
nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Esse limite é mais simples de avaliar:
Isso porque tanto
quanto
estão se aproximando de zero.
Passo 6
Com isso, como
perto de
e o limite de
é zero, concluímos que: