Verifique que y1(t)=t^1 / 2 e y2(t)=t^-1 são duas soluções da equação diferencial 2 t^2 y^prime prime+ 3 t y^prime-y=0 para t>0. Então, mostre que y=c1 t^1 / 2+c2 t^-1 também é solução dessa equação quaisquer que sejam c1 e c2.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
2t^2y''+3t,y'-y=0, t>0
As funções
,y1(t)=t^1/2 e y2(t)=t^-1
devem ser verificadas como soluções. Em seguida, usaremos o princípio de superposição para mostrar que
,y(t)=c1t^1/2+c2t^-1
é solução para quaisquer constantes c1,c2.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y1(t):
y1'(t)=tfrac12,t^-1/2, y1''(t)=-tfrac14,t^-3/2
Substituindo na equação diferencial:
2t^2y1''+3t,y1'-y1 =2t^2l(-tfrac14,t^-3/2r) +3tl(tfrac12,t^-1/2r) -t^1/2 =l(-tfrac12+tfrac32-1r)t^1/2 =0
Logo y1 é solução.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y2(t):
y2'(t)=-t^-2, y2''(t)=2,t^-3
Substituindo na equação diferencial:
2t^2y2''+3t,y2'-y2 =2t^2(2,t^-3) +3t(-t^-2) -t^-1 =(4-3-1)t^-1 =0
Logo y2 é solução.

Passo 4

Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear de soluções também é solução. Assim, para constantes c1,c2 temos
L[c1y1+c2y2] =c1L[y1]+c2L[y2] =0+0 =0
onde L[y]=2t^2y''+3t,y'-y.

Resposta

A solução geral da equação é
y(t)=c1,t^1/2+c2,t^-1

Exercícios relacionados