Verifique que
e
são duas soluções da equação diferencial
para
. Então, mostre que
também é solução dessa equação quaisquer que sejam
e
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
As funções
e
devem ser verificadas como soluções. Em seguida, usaremos o princípio de superposição para mostrar que
é solução para quaisquer constantes .
devem ser verificadas como soluções. Em seguida, usaremos o princípio de superposição para mostrar que
é solução para quaisquer constantes
Passo 2
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Logo
é solução.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Logo
é solução.
Passo 4
Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear de soluções também é solução. Assim, para constantes
temos
onde
.
Resposta
A solução geral da equação é