Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Esse problema está na área de Cálculo de Limites em Funções de Várias Variáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender como as funções se comportam quando as variáveis
e
se aproximam de zero. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o denominador da fração à medida que
se aproxima de
. Temos:
Quando
e
vão para 0,
também vai para 0. Então, o termo
vai para o infinito, porque estamos dividindo 1 por um número cada vez menor.
Passo 3
Agora, olhamos para a expressão dentro do logaritmo:
Como
, então
.
Passo 4
Vamos aplicar o logaritmo nessa expressão. Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, voltamos ao denominador original da nossa função:
Isso porque adicionamos 1 a algo que está indo para o infinito.
Passo 6
Finalmente, analisamos a fração inteira:
Quando temos 1 dividido por algo que cresce sem limite, o resultado tende a zero.