Calcule os seguintes limites, se existirem (não é preciso usar a definição para determinálos).
lim (x, y) (0,0) 11+ln (1+1 /(x^2+y^2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) 11+ln (1+1x^2+y^2)
Esse problema está na área de Cálculo de Limites em Funções de Várias Variáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender como as funções se comportam quando as variáveis x e y se aproximam de zero. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o denominador da fração à medida que (x, y) se aproxima de (0,0). Temos:
x^2 + y^2
Quando x e y vão para 0, x^2 + y^2 também vai para 0. Então, o termo 1x^2 + y^2 vai para o infinito, porque estamos dividindo 1 por um número cada vez menor.

Passo 3

Agora, olhamos para a expressão dentro do logaritmo:
1 + 1x^2 + y^2
Como 1x^2 + y^2 infty, então 1 + 1x^2 + y^2 infty.

Passo 4

Vamos aplicar o logaritmo nessa expressão. Sabemos que:
ln(z) infty quando z infty
Portanto:
ln(1 + 1x^2 + y^2) infty

Passo 5

Agora, voltamos ao denominador original da nossa função:
1 + ln(1 + 1x^2 + y^2) infty
Isso porque adicionamos 1 a algo que está indo para o infinito.

Passo 6

Finalmente, analisamos a fração inteira:
11 + ln(1 + 1x^2 + y^2) 1infty = 0
Quando temos 1 dividido por algo que cresce sem limite, o resultado tende a zero.

Resposta

lim (x, y) (0,0) 11+ln (1+1x^2+y^2) = 0

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