Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=|2 x+1|;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=lvert 2x+1rvert e determinar o conjunto imagem Im(f). O conteúdo principal é valor absoluto de função afim, que reescrevemos em forma de função por partes para depois desenhar o gráfico e verificar os valores assumidos.

Passo 2

Encontramos o ponto onde o argumento do valor absoluto se anula resolvendo
2x+1=0
x=-tfrac12
Esse valor divide o domínio em duas regiões: em que 2x+1 é negativo e em que é não-negativo.

Passo 3

Para cada região temos
2x+1<0(x<-tfrac12)implies f(x)=-(2x+1)=-2x-1, 2x+1>=0(x>=-tfrac12)implies f(x)=2x+1

Passo 4

O gráfico é uma “V” com vértice em l(-tfrac12,0r).
  • À esquerda do vértice ( x<-tfrac12) traçamos a reta de declive -2.
  • À direita ( x>=-tfrac12) traçamos a reta de declive 2.
    Note que o intercepto em y é f(0)=|1|=1.

Passo 5

O valor mínimo de f é 0 (no vértice) e a função cresce para +infty em ambas as direções. Logo
Im(f)=[0,infty)

Resposta

Im(f)=[0,infty).

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