1. Se o Wronskiano W de f e g for 3 t^2 e^t, e se f(t)=t e^t, encontre g(t).

Passo 1

O enunciado dá o wronskiano
W(f,g)=3t^2e^t
de duas funções f e g, sabendo que f(t)=t e^t. O objetivo é encontrar g(t). Vamos usar a definição
W(f,g)=f,g' - f',g,
que leva a uma equação diferencial de primeira ordem para g.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(t)=t e^t,
temos
f'(t)=ddt(t e^t)=e^t+t e^t=(1+t)e^t

Passo 3

Substituímos f, f' e o wronskiano na definição:
t e^t,g'(t) ;-;(1+t)e^t,g(t);=;3t^2e^t
Dividindo por e^t, fica
t,g'(t);-;(1+t),g(t)=3t^2

Passo 4

Colocamos em forma padrão dividindo por t ( tneq0):
g'(t)-1+tt,g(t)=3t

Passo 5

O coeficiente de g é p(t)=-l(1+1tr). O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral p(t),dtr) =exp!l(-!integrall(1+tfrac1tr)dtr) =exp(-t-ln|t|) =e^-tt

Passo 6

Multiplicamos a equação por mu(t) para obter
ddtl(g(t),e^-ttr) =3tcdote^-tt =3e^-t
Integrando em t:
g(t),e^-tt=integral3e^-tdt=-3e^-t+C

Passo 7

Isolando g(t):
g(t)=t e^tl(-3e^-t+Cr) =-3t + C,t e^t

Resposta

g(t)=-3t + C,t e^t, onde C é constante arbitrária.

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