Verifique se a sequência é crescente, decrescente, não monótona, limitada inferiormente, limitada superiormente e/ou limitada.
,
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar as seguintes propriedades:
- se a sequência é crescente;
- se a sequência é decrescente;
- se a sequência é não monótona;
- se é limitada inferiormente;
- se é limitada superiormente;
- se é limitada (isto é, limitada tanto superior quanto inferiormente).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- a fórmula geral do termo geral é
para .
Passo 2
Vamos primeiro olhar alguns termos para ter intuição (isso ajuda muito na prova formal depois). Calcular os primeiros termos usando a fórmula
:
Repare que
. Isso sugere que a sequência diminui conforme
aumenta. Agora vamos provar isso de forma rigorosa.
Passo 3
Definição útil (explicando a ideia): por definição, uma sequência
é crescente se, para todo
,
. É estritamente crescente se
. Analogamente, é decrescente se
para todo
, e estritamente decrescente se
para todo
.
Para provar que
é decrescente, calcule a diferença
e mostre que ela é positiva para todo
.
Passo 4
Calcular a diferença:
Agora simplificar a parte entre parênteses:
Portanto
Como para todo
temos
, segue que
. Logo
para todo
, isto é,
Conclusão: a sequência é estritamente decrescente.
Passo 5
Interpretando o resultado do passo anterior: ser estritamente decrescente implica que a sequência não é crescente (nem mesmo não estritamente crescente). Também implica que ela é monótona (especificamente, monótona decrescente). Assim, respondendo a parte sobre “não monótona”: a sequência NÃO é não monótona — ela é monótona (decrescente).
Passo 6
Agora vamos estudar limites e acotamento (boundedness). Definições rápidas e intuitivas:
- Uma sequência é limitada inferiormente se existe um número
tal que para todo . - É limitada superiormente se existe
tal que para todo . - É limitada se é ao mesmo tempo limitada inferior e superior (ou seja, existem
e com para todo ).
Encontremos candidatos óbvios para limites: como
e
é positivo, todos os termos são positivos. O menor valor possível que os termos se aproximam é
(embora nenhum termo seja igual a
). O maior termo observado foi
(porque a sequência decresce a partir dele). Vamos formalizar essas observações.
Passo 7
Provar que
é um limite inferior (uma cota inferior):
Para todo ,
implica
, então
. Assim, para todo
,
Para todo
Portanto
é uma cota inferior. É também a maior cota inferior (infimum), pois
— mas mesmo sem calcular limite, sabemos que os termos ficam arbitrariamente próximos de
quando
cresce, então
é o infimum.
Provar que
é uma cota superior:
Como a sequência é decrescente e , para todo
temos
. Logo
é uma cota superior. De fato é a menor cota superior (supremum), porque
é o maior termo.
Como a sequência é decrescente e
Conclusão: a sequência é limitada inferiormente (por exemplo por
) e limitada superiormente (por exemplo por
). Sendo limitada inferior e superior, é limitada.
Passo 8
Resumo final e interpretação curta (para recapitular o que foi provado):
- A sequência é estritamente decrescente, logo é decrescente (sim) e não é crescente (não).
- Ela é monótona (especificamente, monótona decrescente), portanto não é “não monótona”.
- Tem cota inferior
e cota superior , portanto é limitada inferiormente, limitada superiormente e limitada.
Resposta
Crescente: não.
Decrescente: sim (estritamente).
Não monótona: não.
Limitada inferiormente: sim (por exemplo por ).
Limitada superiormente: sim (por exemplo por ).
Limitada: sim.
Decrescente: sim (estritamente).
Não monótona: não.
Limitada inferiormente: sim (por exemplo por
Limitada superiormente: sim (por exemplo por
Limitada: sim.