Verifique se a sequência é crescente, decrescente, não monótona, limitada inferiormente, limitada superiormente e/ou limitada.
\left(\frac{1}{4 n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, \quad n \geq 1,

Passo 1

O enunciado dá a sequência
\left(\frac{1}{4n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\qquad n\ge 1,
e pede para verificar as seguintes propriedades:
  • se a sequência é crescente;
  • se a sequência é decrescente;
  • se a sequência é não monótona;
  • se é limitada inferiormente;
  • se é limitada superiormente;
  • se é limitada (isto é, limitada tanto superior quanto inferiormente).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • a fórmula geral do termo geral é \displaystyle a_n=\frac{1}{4n} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos primeiro olhar alguns termos para ter intuição (isso ajuda muito na prova formal depois). Calcular os primeiros termos usando a fórmula a_n=\dfrac{1}{4n}:
a_1=\frac{1}{4\cdot 1}=\frac{1}{4},\qquad a_2=\frac{1}{4\cdot 2}=\frac{1}{8},\qquad a_3=\frac{1}{4\cdot 3}=\frac{1}{12},\\ \dots
Repare que \dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{12}>\cdots. Isso sugere que a sequência diminui conforme n aumenta. Agora vamos provar isso de forma rigorosa.

Passo 3

Definição útil (explicando a ideia): por definição, uma sequência (a_n) é crescente se, para todo n\in\mathbb{N}, a_{n+1}\ge a_n. É estritamente crescente se a_{n+1}>a_n. Analogamente, é decrescente se a_{n+1}\le a_n para todo n, e estritamente decrescente se a_{n+1}<a_n para todo n.
Para provar que \left(\dfrac{1}{4n}\right) é decrescente, calcule a diferença a_n-a_{n+1} e mostre que ela é positiva para todo n\ge1.

Passo 4

Calcular a diferença:
a_n-a_{n+1}=\frac{1}{4n}-\frac{1}{4(n+1)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Agora simplificar a parte entre parênteses:
\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}.
Portanto
a_n-a_{n+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{4n(n+1)}.
Como para todo n\ge1 temos n(n+1)>0, segue que \dfrac{1}{4n(n+1)}>0. Logo a_n-a_{n+1}>0 para todo n\ge1, isto é,
a_n>a_{n+1}\quad\text{para todo }n\ge1.
Conclusão: a sequência é estritamente decrescente.

Passo 5

Interpretando o resultado do passo anterior: ser estritamente decrescente implica que a sequência não é crescente (nem mesmo não estritamente crescente). Também implica que ela é monótona (especificamente, monótona decrescente). Assim, respondendo a parte sobre “não monótona”: a sequência NÃO é não monótona — ela é monótona (decrescente).

Passo 6

Agora vamos estudar limites e acotamento (boundedness). Definições rápidas e intuitivas:
  • Uma sequência é limitada inferiormente se existe um número m tal que a_n\ge m para todo n.
  • É limitada superiormente se existe M tal que a_n\le M para todo n.
  • É limitada se é ao mesmo tempo limitada inferior e superior (ou seja, existem m e M com m\le a_n\le M para todo n).
Encontremos candidatos óbvios para limites: como a_n=\dfrac{1}{4n} e n é positivo, todos os termos são positivos. O menor valor possível que os termos se aproximam é 0 (embora nenhum termo seja igual a 0). O maior termo observado foi a_1=\dfrac{1}{4} (porque a sequência decresce a partir dele). Vamos formalizar essas observações.

Passo 7

Provar que 0 é um limite inferior (uma cota inferior):
Para todo n\ge1, n>0 implica 4n>0, então a_n=\dfrac{1}{4n}>0. Assim, para todo n,
a_n\ge 0.
Portanto 0 é uma cota inferior. É também a maior cota inferior (infimum), pois \lim_{n\to\infty}a_n=0 — mas mesmo sem calcular limite, sabemos que os termos ficam arbitrariamente próximos de 0 quando n cresce, então 0 é o infimum.
Provar que \dfrac{1}{4} é uma cota superior:
Como a sequência é decrescente e a_1=\dfrac{1}{4}, para todo n\ge1 temos a_n\le a_1=\dfrac{1}{4}. Logo \dfrac{1}{4} é uma cota superior. De fato é a menor cota superior (supremum), porque a_1 é o maior termo.
Conclusão: a sequência é limitada inferiormente (por exemplo por 0) e limitada superiormente (por exemplo por \dfrac{1}{4}). Sendo limitada inferior e superior, é limitada.

Passo 8

Resumo final e interpretação curta (para recapitular o que foi provado):
  • A sequência é estritamente decrescente, logo é decrescente (sim) e não é crescente (não).
  • Ela é monótona (especificamente, monótona decrescente), portanto não é “não monótona”.
  • Tem cota inferior 0 e cota superior \dfrac{1}{4}, portanto é limitada inferiormente, limitada superiormente e limitada.

Resposta

Crescente: não.
Decrescente: sim (estritamente).
Não monótona: não.
Limitada inferiormente: sim (por exemplo por 0).
Limitada superiormente: sim (por exemplo por \tfrac{1}{4}).
Limitada: sim.

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