Exercício 2. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais duplas abaixo.
integral(3,2) integralD y^3 d A, com D sendo a região delimitada pelo triângulo de vértices (0,2),(1,1) e (3,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD y^3,dA
onde D é o triângulo com vértices em (0,2), (1,1) e (3,2).
O conteúdo é integração dupla sobre região triangular; vamos precisar esboçar D, expressar as arestas como funções de y e então montar a integral iterada.

Passo 2

Esboçando D percebemos que a base superior vai de (0,2) a (3,2) (reta y=2) e o vértice inferior é (1,1). As arestas são:
– De (0,2) a (1,1): inclinação -1, logo
y-1 = -1,(x-1) Longrightarrow x = 2 - y
– De (1,1) a (3,2): inclinação 1/2, logo
y-1 = tfrac12,(x-1) Longrightarrow x = 2y - 1
Como y varia de 1 a 2, para cada y temos
xmin = 2 - y, xmax = 2y - 1

Passo 3

Montamos a integral iterada integrando primeiro em x:
integral duplaD y^3,dA = integraly=1^2 integralx=2-y^,2y-1 y^3,dx ,dy
No integral interno y^3 é constante em x, então
integralx=2-y^2y-1 y^3,dx = l[(2y-1)-(2-y)r],y^3 = (3y-3),y^3 =3y^4-3y^3

Passo 4

Agora
integral duplaD y^3,dA = integral1^2 l(3y^4-3y^3r),dy =3l[y^55-y^44r]1^2 =3l(325-4 -l(15-tfrac14r)r) = 14720

Resposta

14720

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