Calcule os seguintes limites :
f. \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{2-x^{2}}-\frac{1}{4-x^{3}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{1}{2-x^{2}}-\frac{1}{4-x^{3}}\right).
Informações dadas: a expressão é a diferença de duas frações cujos denominadores são 2-x^{2} e 4-x^{3}, e a variável x tende para 1. Não há mais dados ocultos — só precisamos avaliar esse limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Conhecimentos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Regra de limite para soma/diferença: se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então
\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x).
Isto significa que podemos separar o limite da diferença em dois limites, desde que cada um exista.
  • Continuidade de polinômios: funções polinomiais (como x^2, x^3) são contínuas em todo lugar, então seus limites em x\to 1 são obtidos simplesmente substituindo x=1.
  • Regra do reciproco: se \lim_{x\to a}h(x)=L e L\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{1}{h(x)}=\frac{1}{L}.
Portanto, quando um denominador tem limite não nulo, podemos passar o limite para o recíproco.
Usando essas regras, vamos avaliar cada parte da expressão.

Passo 3

Avaliar os limites dos denominadores (usando a continuidade dos polinômios):
\lim_{x\to 1}(2-x^{2})=2-1^{2}=2-1=1,
\lim_{x\to 1}(4-x^{3})=4-1^{3}=4-1=3.
Observe que ambos os limites são números diferentes de zero ( 1 e 3), portanto podemos aplicar a regra do recíproco.

Passo 4

Aplicar a regra do recíproco para cada fração:
\lim_{x\to 1}\frac{1}{2-x^{2}}=\frac{1}{\lim_{x\to 1}(2-x^{2})}=\frac{1}{1}=1,
\lim_{x\to 1}\frac{1}{4-x^{3}}=\frac{1}{\lim_{x\to 1}(4-x^{3})}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Usar a regra da diferença de limites:
\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{1}{2-x^{2}}-\frac{1}{4-x^{3}}\right) = \lim_{x\to 1}\frac{1}{2-x^{2}}-\lim_{x\to 1}\frac{1}{4-x^{3}} =1-\frac{1}{3}.
Calcule a diferença:
1-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Conclusão final: o limite existe e vale \dfrac{2}{3}. (Se quiser conferir de outro jeito, poderia também juntar as frações em um único quociente e avaliar diretamente em x=1; o resultado será o mesmo.)

Resposta

\frac{2}{3}

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