Calcule os seguintes limites :
e. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x+5}{3 x-2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{2x+5}{3x-2}.
Informações dadas: a função considerada é a função racional \frac{2x+5}{3x-2} e a variável x tende para 1. Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Conceito importante (aula curtinha e direta): se uma função é contínua em um ponto a, então
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Racionais (razão de polinômios) são contínuas em todo ponto onde o denominador não é zero. Ou seja, para funções da forma \frac{P(x)}{Q(x)}, onde P e Q são polinômios, se Q(a)\neq 0 podemos calcular o limite apenas substituindo x=a. Se Q(a)=0, aí a continuidade falha e precisamos de outras técnicas (fatoração, regra de L’Hôpital, análise de limites laterais, etc.).
Exemplo rápido para fixar: \lim_{x\to 2}\frac{x^2-1}{x-2}. Aqui o denominador em x=2 é 0, então não podemos simplesmente substituir; seria preciso manipular a expressão. Já em \lim_{x\to 3}\frac{x+4}{2x-1} o denominador em x=3 é 5\neq 0, logo o limite é \frac{3+4}{2\cdot3-1}=\frac{7}{5}.

Passo 3

Aplicando a ideia acima ao nosso caso: verificar o denominador em x=1.
Calcule o numerador em x=1:
2\cdot 1 + 5 = 2 + 5 = 7.
Calcule o denominador em x=1:
3\cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1.
Como o denominador em x=1 é 1\neq 0, a função é contínua em x=1 e podemos substituir x=1 para obter o limite. A substituição dá a fração
\frac{7}{1}.

Passo 4

Conclusão: pelo argumento de continuidade de funções racionais quando o denominador não se anula, o limite pedido é o valor da fração obtida pela substituição em x=1.

Resposta

7

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