Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) ightharpoonup(0,0), quando existirem.
f(x, y)=x ln (x y), x>0, y>0. (Resposta: não existe)

Passo 1

O enunciado pede o limite
onde para e .
Para existir esse limite em , o valor de ao nos aproximarmos de deve ser o mesmo por qualquer caminho. Vamos testar duas curvas em que os limites dão resultados distintos.

Passo 2

Considere a reta y=x. Então ao longo dessa curva,
f(x,x)=xlnl(xcdot xr)=xlnl(x^2r)=2xln x
Como bem conhecido,
limxto0^+xln x=0,
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limxto0^+f(x,x) =limxto0^+2xln x=0

Passo 3

Agora escolha a curva definida por
y=e^-1/xx, x>0
Note que quando xto0^+ temos e^-1/xto0 e portanto yto0^+, isto é, (x,y)to(0,0). Além disso,
x,y =xcdote^-1/xx =e^-1/x,
então
fl(x,yr) =xlnl(e^-1/xr) =xl(-tfrac1xr) =-1
Portanto
limxto0^+fl(x,y(x)r)=-1

Passo 4

Como pelo caminho y=x o limite deu 0 e pelo caminho y=e^-1/x/x deu -1, os valores não coincidem. Logo o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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