Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) ightharpoonup(0,0), quando existirem.
f(x, y)=x^2 y sen(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2. (Resposta: zero)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de
f(x,y)=\frac{x{2}y\operatorname{sen}(x{2}+y{2})}{(x{2}+y{2}){2}}
quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para transformar x e y em termos de r e θ.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos x=r\cosθ e y=r\sinθ, de modo que x{2}+y{2}=r^{2}. Substituindo em f(x,y) obtemos:
f(r,θ)=r^2cos^2θ,(rsinθ),sen(r^2)(r^2)^2=r^3cos^2θsinθ,sen(r^2)r^4

Passo 3

A expressão acima pode ser reescrita isolando o fator \operatorname{sen}(r{2})/r{2}:
f(r,θ)=cos^2θsinθ,sen(r^2)r=rcos^2θsinθcdotsen(r^2)r^2

Passo 4

Usamos o limite fundamental \lim_{t→0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1. Aqui t=r^{2}→0 quando r→0, então \frac{\operatorname{sen}(r{2})}{r{2}}→1. Além disso |\cos^{2}θ\sinθ|≤1, portanto f(r,θ) tende a 0·1=0. Assim o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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