Calcule os seguintes limites de
para
, quando existirem.
. (Resposta: zero)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite de
f(x,y)=\frac{x{2}y\operatorname{sen}(x{2}+y{2})}{(x{2}+y{2}){2}}
quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para transformar x e y em termos de r e θ.
f(x,y)=\frac{x{2}y\operatorname{sen}(x{2}+y{2})}{(x{2}+y{2}){2}}
quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para transformar x e y em termos de r e θ.
Passo 2
Em coordenadas polares, definimos x=r\cosθ e y=r\sinθ, de modo que x{2}+y{2}=r^{2}. Substituindo em f(x,y) obtemos:
Passo 3
A expressão acima pode ser reescrita isolando o fator \operatorname{sen}(r{2})/r{2}:
Passo 4
Usamos o limite fundamental \lim_{t→0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1. Aqui t=r^{2}→0 quando r→0, então \frac{\operatorname{sen}(r{2})}{r{2}}→1. Além disso |\cos^{2}θ\sinθ|≤1, portanto f(r,θ) tende a 0·1=0. Assim o limite existe e vale zero.
Resposta
0