Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) ightharpoonup(0,0), quando existirem.
f(x, y)=sen(x y)x. (Resposta: zero)

Passo 1

O enunciado pede o limite de f(x,y)=sen(xy)x quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos precisar do critério de comparação (teorema do confronto) e da desigualdade |sen t|<=|t| para valores de t reais.

Passo 2

Para aplicar o teorema do confronto, note que para todo t real vale |sen t|<=|t|. Substituindo t=xy, temos
|sen(xy)|<=|xy|
Logo, dividindo por |x|>0 (em pontos diferentes de x=0), ficamos com
|sen(xy)x|<=|xy||x|=|y|
Como (x,y)to(0,0) implica yto0, segue que |y|to0. Pelo teorema do confronto, o limite de sen(xy)/x é 0.

Resposta

0

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