Exercício 2.10. Encontre a solução do PVI e explicite o intervalo de definição da solução encontrada
(a) y^prime+cotg(x) y=2 cossec(x), y(pi / 2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + cot(x),y = 2,csc(x), yl(tfracpi2r)=1
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem; vamos usar o fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = exp!l(integral cot(x),dxr) = exp!l(ln|sin(x)|r) = sin(x),
considerando o sinal positivo perto de x=tfracpi2.

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=sin(x), obtemos
ddxl(y,sin(x)r) = 2,
pois sin(x)cot(x)=cos(x) e sin(x)csc(x)=1. Integrando ambos os lados:
y,sin(x) = integral 2,dx = 2x + C

Passo 4

Para achar C, usamos a condição inicial y(tfracpi2)=1:
1cdotsin!l(tfracpi2r) = 2cdottfracpi2 + C Longrightarrow 1 = pi + C Longrightarrow C = 1 - pi

Passo 5

Substituindo C na expressão de ysin(x), isolamos y(x):
y(x) = 2x + (1-pi)sin(x)

Passo 6

A solução só faz sentido onde sin(x)neq0, ou seja, xneq kpi. Como a condição inicial está em x=tfracpi2, o maior intervalo de definição que contém esse ponto é
(0,pi).

Resposta

y(x) = 2x + 1 - pisin(x), xin(0,pi)

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