Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) ightharpoonup(0,0), quando existirem.
f(x, y)=x+yraizx^2+y^2. (Resposta: não existe)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=x+yraizx^2+y^2
quando (x,y)to(0,0).
O conteúdo é limites em duas variáveis e o critério de existência: se o valor do limite depender do caminho de aproximação, então o limite não existe.

Passo 2

Para investigar a dependência de caminho, usemos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta,
onde r=raizx^2+y^2 e theta é o ângulo.

Passo 3

Substituindo em f, obtemos
f(r,theta) =rcostheta + rsinthetaraizr^2 =r(costheta+sintheta)r =costheta+sintheta
Observe que não há mais dependência de r: ao aproximar de (0,0) (isto é, rto0), o valor de f tende a costheta+sintheta, que depende de theta.

Passo 4

Como exemplo, para theta=0 (eixo x positivo) temos
cos0+sin0=1+0=1,
enquanto para theta=pi/4 (reta y=x) temos
cospi4+sinpi4=raiz22+raiz22=raiz2neq1
Como o limite assume valores diferentes conforme o ângulo, ele não é único.

Resposta

O limite não existe.

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