Se onde e , (a) determine e e (b) mostre que

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com uma função de duas variáveis em coordenadas polares: temos z = f(x,y) onde x = r \cos\theta e y = r \sin\theta. O conteúdo é a regra de cadeia em derivadas parciais, e vamos usar as derivadas parciais de x e y em relação a r e \theta para achar partial z/partial r e partial z/partial theta, depois mostrar a identidade pedida.

Passo 2

Aplicando a regra de cadeia para partial z/partial r, escrevemos:
partial zpartial r=partial fpartial xpartial xpartial r+partial fpartial ypartial ypartial r
Como
partial xpartial r=costheta e
partial ypartial r=sintheta , segue
partial zpartial r=partial fpartial xcostheta+partial fpartial ysintheta .

Passo 3

Aplicando a regra de cadeia para partial z/partial theta, temos:
partial zpartial theta=partial fpartial xpartial xpartial theta+partial fpartial ypartial ypartial theta
Como
partial xpartial theta=-rsintheta e
partial ypartial theta=rcostheta , obtemos
partial zpartial theta=-rpartial fpartial xsintheta+rpartial fpartial ycostheta .

Passo 4

Para mostrar a identidade, começamos com o lado direito:
l(partial zpartial rr)^2+1r^2l(partial zpartial thetar)^2
Substituindo as expressões que achamos:
l(fxcostheta+fysinthetar)^2+1r^2l(-r fxsintheta+r fycosthetar)^2
Isso vira
fx^2(cos^2theta+sin^2theta)+fy^2(sin^2theta+cos^2theta)+2fxfy(costhetasintheta-sinthetacostheta)
E, como cos^2theta+sin^2theta=1 e o termo misto some, sobra
fx^2+fy^2
que é exatamente
l(partial zpartial xr)^2+l(partial zpartial yr)^2

Resposta

partial zpartial r=fxcostheta+fysintheta, partial zpartial theta=-r fxsintheta+r fycostheta, e mostra-se que
l(partial zpartial xr)^2+l(partial zpartial yr)^2=l(partial zpartial rr)^2+1r^2l(partial zpartial thetar)^2

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