Se
onde
e
, (a) determine
e
e (b) mostre que
Passo 1
O enunciado pede para a gente trabalhar com uma função de duas variáveis em coordenadas polares: temos z = f(x,y) onde x = r \cos\theta e y = r \sin\theta. O conteúdo é a regra de cadeia em derivadas parciais, e vamos usar as derivadas parciais de x e y em relação a r e \theta para achar
e
, depois mostrar a identidade pedida.
Passo 2
Aplicando a regra de cadeia para
, escrevemos:
Como
e
, segue
Passo 3
Aplicando a regra de cadeia para
, temos:
Como
e
, obtemos
Passo 4
Para mostrar a identidade, começamos com o lado direito:
Substituindo as expressões que achamos:
Isso vira
E, como
e o termo misto some, sobra
que é exatamente