Verifique que f: R (-1,1) definida por f(x)=xraiz1+x^2, é uma bijeção de R sobre o intervalo (-1,1) e determine sua inversa.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon Rto(-1,1), f(x)=xraiz1+x^2,
e pede para mostrar que ela é bijetora e encontrar f^-1.
Para isso vamos usar (1) monotonicidade para injetividade, (2) limites no infinito para sobrejetividade, e (3) resolver a equação y=f(x) para achar a inversa.

Passo 2

Mostramos que f é injetiva calculando sua derivada e vendo que ela não muda de sinal.
Em detalhe,
f(x)=x(1+x^2)^-tfrac12
logo, por regra do produto e cadeia,
f'(x) =(1+x^2)^-tfrac12 + xcdotl(-tfrac12r)(1+x^2)^-tfrac32cdot 2x =(1+x^2)^-tfrac32l((1+x^2)-x^2r) =(1+x^2)^-tfrac32
Como (1+x^2)^-tfrac32>0 para todo xinR, concluímos que f é estritamente crescente e, portanto, injetiva.

Passo 3

Para ver que f é sobrejetiva em (-1,1), basta observar os limites nas extremidades do domínio e usar continuidade.
limxto+inftyf(x) =limxto+inftyxraiz1+x^2 =1, limxto-inftyf(x)=-1
Como f é contínua e estritamente crescente de -infty até +infty, seu conjunto imagem é exatamente o intervalo aberto (-1,1). Logo f é sobrejetiva.

Passo 4

Para achar a inversa, começamos com a equação
y=xraiz1+x^2, yin(-1,1),
e isolamos x. Multiplicando,
yraiz1+x^2=x
e elevando ao quadrado,
y^2(1+x^2)=x^2 ;;Longrightarrow;; y^2 + y^2 x^2 = x^2 ;;Longrightarrow;; x^2(1-y^2)=y^2 ;;Longrightarrow;; x^2=y^21-y^2

Passo 5

Temos x^2=dfracy^21-y^2, então
x=pm|y|raiz1-y^2
Para decidir o sinal, notamos que f é estritamente crescente e que f(0)=0. Assim, se y>0 deve corresponder a x>0, e se y<0 a x<0. Portanto o sinal acompanha o de y e
x=yraiz1-y^2
Isso define a inversa f^-1colon (-1,1)toR.

Resposta

A função f é bijetora de R sobre (-1,1) e sua inversa é
f^-1(y)=yraiz1-y^2, yin(-1,1)

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