Verifique que
definida por
, é uma bijeção de
sobre o intervalo
e determine sua inversa.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que ela é bijetora e encontrar
.
Para isso vamos usar (1) monotonicidade para injetividade, (2) limites no infinito para sobrejetividade, e (3) resolver a equação para achar a inversa.
Para isso vamos usar (1) monotonicidade para injetividade, (2) limites no infinito para sobrejetividade, e (3) resolver a equação
Passo 2
Mostramos que
é injetiva calculando sua derivada e vendo que ela não muda de sinal.
Em detalhe,
Em detalhe,
logo, por regra do produto e cadeia,
Como
para todo
, concluímos que
é estritamente crescente e, portanto, injetiva.
Passo 3
Para ver que
é sobrejetiva em
, basta observar os limites nas extremidades do domínio e usar continuidade.
Como
é contínua e estritamente crescente de
até
, seu conjunto imagem é exatamente o intervalo aberto
. Logo
é sobrejetiva.
Passo 4
Para achar a inversa, começamos com a equação
e isolamos
. Multiplicando,
e elevando ao quadrado,
Passo 5
Temos
, então
Para decidir o sinal, notamos que
é estritamente crescente e que
. Assim, se
deve corresponder a
, e se
a
. Portanto o sinal acompanha o de
e
Isso define a inversa
.
Resposta
A função
é bijetora de
sobre
e sua inversa é