Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) ightharpoonup(0,0), quando existirem.
f(x, y)=1-cos (x y)x y^2. (Resposta: zero)

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y),
sendo
f(x,y)=1-cos(xy)x,y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teorema do confronto.

Passo 2

Lembramos da desigualdade que vem da expansão de Taylor de cos u:
|1-cos u|<=u^22,
válida para todo uinR.

Passo 3

Aplicando essa desigualdade com u=xy, temos
l|1-cos(xy)r|<=(xy)^22
e, portanto,
l|f(x,y)r| =|1-cos(xy)x,y^2| <=tfrac(xy)^22lvert xrvert,y^2 =lvert xrvert2

Passo 4

Quando (x,y)to(0,0), nota-se que lvert xrvert/2to0. Pelo teorema do confronto segue que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

0

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