Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) ightharpoonup(0,0), quando existirem.
f(x, y)=sen(x y)sen x sen y. (Resposta: 1 )

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)sin(xy)sin x;sin y
O conteúdo é cálculo de limite em duas variáveis usando aproximações de primeiro termo da série de Taylor para a função sin.

Passo 2

Escrevemos a função em fatores que lembram os limites clássicos limtto0sin tt=1. Observe que
sin(xy)sin x,sin y =sin(xy)xy;xyx,y;xsin x;ysin y
Aqui dividimos e multiplicamos por xy e por x,y.

Passo 3

Agora analisamos cada fator quando (x,y)to(0,0):
  1. sin(xy)xyto1 pois limtto0sin tt=1.
  2. xyx,y=1 identicamente (fora da origem).
  3. xsin xto1 e ysin yto1 pelos mesmos limites de sin t/t.

Passo 4

Como produto de fatores que tendem a 1, concluímos que
sin(xy)sin x,sin y ;longrightarrow; 1cdot1cdot1cdot1=1

Resposta

1

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