Questão
pontos) Resolva a EDO
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem linear não homogênea:
. Vamos usar teoria de EDOs lineares com coeficientes constantes e a técnica de redução de ordem para encontrar uma particular.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
. A equação característica é
Passo 3
Passo 4
logo temos raiz dupla
. Assim a solução homogênea é
Passo 5
Passo 6
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Para a solução particular, fazemos a substituição de redução de ordem
Passo 8
Passo 9
Calculamos as derivadas
Passo 10
Passo 11
Substituindo na EDO original, obtemos
Passo 12
Passo 13
Cancelando
fica
Passo 14
Passo 15
Integramos duas vezes:
Passo 16
Passo 17
Passo 18
Como os termos
e
geram soluções já presentes em
, podemos descartar esses termos na particular. Assim
Passo 19
Passo 20
A solução geral da EDO é a soma de
e
:
Passo 21
Resposta
y(x)=e^{-2x}\bigl(C_1+C_2x -11\ln x\bigr)