Questão 4(2,5 pontos) Resolva a EDO y^prime prime+4 y^prime+4 y=11x^2 e^-2 x, x>0.
square

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem linear não homogênea: y'' + 4y' + 4y = 11x^2e^-2x, x>0. Vamos usar teoria de EDOs lineares com coeficientes constantes e a técnica de redução de ordem para encontrar uma particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada y'' + 4y' + 4y=0. A equação característica é

Passo 3

r^2+4r+4=(r+2)^2=0

Passo 4

logo temos raiz dupla r=-2. Assim a solução homogênea é

Passo 5

yh=(C1+C2x)e^-2x,

Passo 6

onde C1, C2 são constantes arbitrárias.

Passo 7

Para a solução particular, fazemos a substituição de redução de ordem

Passo 8

yp=e^-2xu(x).

Passo 9

Calculamos as derivadas

Passo 10

yp' = e^-2x(u'-2u), yp''=e^-2x(u''-4u'+4u)

Passo 11

Substituindo na EDO original, obtemos

Passo 12

e^-2xu''+4e^-2x(u'-2u)+4e^-2xu = e^-2xu'' = 11x^2e^-2x

Passo 13

Cancelando e^-2x fica

Passo 14

u''=11x^2

Passo 15

Integramos duas vezes:

Passo 16

u' = integral 11x^2dx = -11x + A,

Passo 17

u = integrall(-11x+Ar)dx = -11ln x + Ax + B

Passo 18

Como os termos Ax e B geram soluções já presentes em yh, podemos descartar esses termos na particular. Assim

Passo 19

yp = -11e^-2xln x

Passo 20

A solução geral da EDO é a soma de yh e yp:

Passo 21

y(x)=e^-2xl(C1+C2x -11ln xr)

Resposta

y(x)=e^{-2x}\bigl(C_1+C_2x -11\ln x\bigr)

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