Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) ightharpoonup(0,0), quando existirem.
f(x, y)=(3 x^2+2 y^2) ln (x^2+y^2). (Resposta: zero)

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y),
onde
f(x,y) = l(3x^2+2y^2r)lnl(x^2+y^2r)
Este é um problema de limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar coordenadas polares e a propriedade conhecida de que r^2ln rto0 quando rto0^+.

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas polares,
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0,
temos x^2+y^2=r^2 e
3x^2+2y^2 =3r^2cos^2theta+2r^2sin^2theta =r^2l(3cos^2theta+2sin^2thetar)
Portanto
f(r,theta) =r^2l(3cos^2theta+2sin^2thetar)lnl(r^2r) =2,r^2l(3cos^2theta+2sin^2thetar)ln r

Passo 3

Observe que o fator angular 3cos^2theta+2sin^2theta é limitado, pois
2<=3cos^2theta+2sin^2theta<=3
Logo, em módulo,
l|f(r,theta)r| <=2cdot3,r^2l|ln rr| =6,r^2l|ln rr|
E sabe-se que
limrto0^+r^2l|ln rr|=0
Pelo critério de sanduíche, conclui-se que
limrto0^+f(r,theta)=0,
independentemente de theta.

Resposta

0

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