Diferencie a seguinte função usando as regras básicas:
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: diferenciar a função
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - A função está definida para
(porque não existe em ). - Objetivo: encontrar
, a derivada da função em termos de .
Passo 2
Estratégia: usar propriedades básicas de derivação:
- A derivada é linear: a derivada da diferença é a diferença das derivadas. Ou seja, se
então . - Conhecer as derivadas elementares que vamos aplicar:
-
. - Regra da potência:
para qualquer número real . Aqui é conveniente reescrever como uma potência negativa.
-
Passo 3
Reescrever a função usando potência negativa para facilitar a aplicação da regra da potência:
Passo 4
Derivar cada parcela separadamente:
- Para a primeira parcela, aplicar a regra conhecida da exponencial:
Breve lembrete: a função
tem a propriedade especial de ser igual à sua derivada; por isso o resultado é exatamente
.
Passo 5
- Para a segunda parcela, aplicar a regra da potência com
:
Como na função essa parcela aparece com sinal negativo, a derivada da parcela total é
Converter
para fração se preferir:
Passo 6
Somar as derivadas das parcelas (usar linearidade):
Lembrar do domínio: essa expressão faz sentido para
, mesma restrição da função original.