Diferencie a seguinte função usando as regras básicas:
f(x)=e^{x}-\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: diferenciar a função f(x)=e^{x}-\dfrac{1}{x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=e^{x}-\dfrac{1}{x^{2}}.
  • A função está definida para x\neq 0 (porque \dfrac{1}{x^{2}} não existe em x=0).
  • Objetivo: encontrar f'(x), a derivada da função em termos de x.

Passo 2

Estratégia: usar propriedades básicas de derivação:
  • A derivada é linear: a derivada da diferença é a diferença das derivadas. Ou seja, se f(x)=g(x)-h(x) então f'(x)=g'(x)-h'(x).
  • Conhecer as derivadas elementares que vamos aplicar:
    • \dfrac{d}{dx}\,e^{x}=e^{x}.
    • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1} para qualquer número real n. Aqui é conveniente reescrever \dfrac{1}{x^{2}} como uma potência negativa.

Passo 3

Reescrever a função usando potência negativa para facilitar a aplicação da regra da potência:
f(x)=e^{x}-\dfrac{1}{x^{2}}=e^{x}-x^{-2}.

Passo 4

Derivar cada parcela separadamente:
  • Para a primeira parcela, aplicar a regra conhecida da exponencial:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
Breve lembrete: a função e^{x} tem a propriedade especial de ser igual à sua derivada; por isso o resultado é exatamente e^{x}.

Passo 5

  • Para a segunda parcela, aplicar a regra da potência com n=-2:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=(-2)\,x^{-3}=-2x^{-3}.
Como na função essa parcela aparece com sinal negativo, a derivada da parcela total é
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}\bigr)=-\bigl(-2x^{-3}\bigr)=+2x^{-3}.
Converter x^{-3} para fração se preferir:
2x^{-3}=\frac{2}{x^{3}}.

Passo 6

Somar as derivadas das parcelas (usar linearidade):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}\bigr)=e^{x}+2x^{-3}=e^{x}+\frac{2}{x^{3}}.
Lembrar do domínio: essa expressão faz sentido para x\neq 0, mesma restrição da função original.

Resposta

f'(x)=e^{x}+\dfrac{2}{x^{3}}

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