Questão 3 ( 2, 5 pontos) Encontre uma solução particular da equaçāo diferencial y^prime prime-2 y^prime+2 y=e^4 x.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes y'' - 2y' + 2y = e^4x. O conteúdo aqui é equações diferenciais e a técnica que vamos usar é o método dos coeficientes não determinados, pois o termo não homogêneo é uma exponencial simples.

Passo 2

No método dos coeficientes não determinados, assumimos uma forma para a solução particular semelhante ao forçamento. Como o forçamento é e^4x, tentamos yp(x) = A e^4x. Antes de continuar, conferimos se e^4x não coincide com alguma solução da parte homogênea. O polinômio característico da homogênea é r^2 - 2r + 2 = 0, cujas raízes são 1 pm i. Como nenhuma raiz é 4, a forma A e^4x serve sem multiplicar por x.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de yp:
yp = A e^4x, y'p = 4A e^4x, y''p = 16A e^4x

Passo 4

Substituindo na equação y'' - 2y' + 2y, temos
y''p - 2y'p + 2yp = (16A - 2cdot4A + 2A)e^4x = 10A e^4x
Isso deve ser igual a e^4x, ou seja 10A e^4x = e^4x. Dividindo por e^4x obtém-se 10A = 1, logo A = tfrac110.

Resposta

yp(x) = tfrac110e^4x

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