Calcule os seguintes limites de para , quando existirem. . (Resposta: zero)
Passo 1
O enunciado pede para calcular onde . O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos precisar investigar se a forma nos dá um valor único.
Passo 2
Ao substituir diretamente obtemos , que é indeterminado. Para contornar isso, usamos o teorema do confronto (ou “squeeze theorem”) aplicando desigualdades ao valor absoluto de .
Passo 3
Primeiro, note que para :
Como x^2+y^2>= x^2 e x^2+y^2>= y^2, segue que
|x|^3x^2+y^2<=|x|^3x^2=|x|,
2y^4x^2+y^2<=2y^4y^2=2y^2
Logo,
|x^3+2y^4x^2+y^2|<=|x|+2y^2
Passo 4
Como lim(x,y)to(0,0)(|x|+2y^2)=0, pelo teorema do confronto concluímos que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.