Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) ightharpoonup(0,0), quando existirem.
f(x, y)=x^3+2 y^4x^2+y^2. (Resposta: zero)

Passo 1

O enunciado pede para calcular lim(x,y)to(0,0)f(x,y) onde f(x,y)=x^3+2y^4x^2+y^2. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos precisar investigar se a forma 0/0 nos dá um valor único.

Passo 2

Ao substituir (x,y)=(0,0) diretamente obtemos 0/0, que é indeterminado. Para contornar isso, usamos o teorema do confronto (ou “squeeze theorem”) aplicando desigualdades ao valor absoluto de f.

Passo 3

Primeiro, note que para (x,y)neq(0,0):
|x^3+2y^4x^2+y^2|<=|x|^3x^2+y^2+2y^4x^2+y^2
Como x^2+y^2>= x^2 e x^2+y^2>= y^2, segue que
|x|^3x^2+y^2<=|x|^3x^2=|x|,
2y^4x^2+y^2<=2y^4y^2=2y^2
Logo,
|x^3+2y^4x^2+y^2|<=|x|+2y^2

Passo 4

Como lim(x,y)to(0,0)(|x|+2y^2)=0, pelo teorema do confronto concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.

Resposta

0

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