^a Questão. (3,5 pts)
Considere a função:
g(x)=raiz2 x^2+5 x+1-x
A função possui assíntotas horizontais? Em caso afirmativo, quais?

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=raiz2x^2+5x+1-x
e pergunta se ela tem assíntotas horizontais, ou seja, se existem constantes L+ e/ou L- tais que
limxto+inftyg(x)=L+ ou limxto-inftyg(x)=L-
e, em caso afirmativo, quais são esses valores.

Passo 2

Analisando xto+infty, escrevemos
g(x) =raiz2x^2+5x+1-x =xl(raiz2+tfrac5x+tfrac1x^2-1r)
Como limxto+inftyraiz2+tfrac5x+tfrac1x^2=raiz2, temos
g(x)sim xl(raiz2-1r) longrightarrow +infty
Logo não há limite finito em +infty e, portanto, não há assíntota horizontal para xto+infty.

Passo 3

Para xto-infty, note que raizx^2=-,x. Então
g(x) =raiz2x^2+5x+1-x =-,xraiz2+tfrac5x+tfrac1x^2-x =-,xl(raiz2+tfrac5x+tfrac1x^2+1r)
Como limxto-inftyraiz2+tfrac5x+tfrac1x^2=raiz2, segue
g(x)sim -,xl(raiz2+1r) longrightarrow +infty
Portanto também não há limite finito em -infty.

Resposta

A função não possui assíntotas horizontais.

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