Exercício 2.8. Encontre a solução de
d yd x=1e^y-x, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = 1e^y-x,
com a condição inicial y(1)=0. Vamos observar que podemos inverter a derivada para obter uma equação linear em x como função de y, pois
dxdy = e^y-x

Passo 2

Reescrevendo a equação em x(y), temos a forma padrão de uma equação linear:
dxdy + x = e^y
Aqui o coeficiente de x é 1 e o termo independente é e^y.

Passo 3

O fator integrante é
mu(y) = e^integral 1,dy = e^y
Multiplicando a equação por mu(y), obtemos
e^ydxdy + e^yx = e^ycdot e^y = e^2y,
ou seja,
ddyl(x,e^yr) = e^2y

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a y:
x,e^y = integral e^2y,dy = 12,e^2y + C,
onde C é constante de integração. Logo
x = 12,e^y + C,e^-y

Passo 5

Impondo a condição inicial y(1)=0, ou seja, quando y=0 temos x=1:
1 = 12e^0 + C,e^0 Longrightarrow 1 = 12 + C Longrightarrow C = 12
Substituindo em x(y), fica
x = 12,e^y + 12,e^-y = e^y+e^-y2 = cosh(y)

Passo 6

Para encontrar y em função de x, invertemos a relação x = cosh(y). Lembrando que arccosh(x)=lnl(x+raizx^2-1r), concluímos
y(x) = arccosh(x) = ln!l(x + raizx^2-1r),
válido para x>=1.

Resposta

y(x) = ln!l(x + raizx^2-1r)

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