Exercício 2.8. Encontre a solução de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com a condição inicial
. Vamos observar que podemos inverter a derivada para obter uma equação linear em
como função de
, pois
Passo 2
Reescrevendo a equação em
, temos a forma padrão de uma equação linear:
Aqui o coeficiente de
é
e o termo independente é
.
Passo 3
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
, obtemos
ou seja,
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Logo
Passo 5
Impondo a condição inicial
, ou seja, quando
temos
:
Substituindo em
, fica
Passo 6
Para encontrar
em função de
, invertemos a relação
. Lembrando que
, concluímos
válido para
.