Calcule os seguintes limites indeterminados: (método da fatoração)
lim x 3 x^3-27x^2+3 x-18

Passo 1

O enunciado pede
limxto3x^3-27x^2+3x-18
que é um limite de função racional. Como ao substituir x=3 obtemos a forma indeterminada tfrac00, vamos usar o método da fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Verificamos a indeterminação ao avaliar diretamente em x=3:
numerador = 3^3 - 27 = 0, denominador = 3^2 + 3cdot3 - 18 = 9 + 9 - 18 = 0
Como dá 0/0, podemos fatorar numerador e denominador.

Passo 3

Usamos a diferença de cubos e a fatoração do polinômio quadrático:
x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)l(x^2 + 3x + 9r),
x^2 + 3x - 18 = (x-3)(x+6)

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-3) (válido para xneq3) e ficamos com
x^3-27x^2+3x-18 = (x-3)(x^2+3x+9)(x-3)(x+6) = x^2+3x+9x+6
Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando xto3:
limxto3x^2+3x+9x+6 = 3^2 + 3cdot3 + 93 + 6 = 9 + 9 + 99 = 279 = 3

Resposta

O valor do limite é 3.

Exercícios relacionados