Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt{x^{2}-2 x}-\sqrt{x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}-2x}-\sqrt{x^{2}-x}\bigr).
Esse tipo de limite em que duas raízes crescem como |x| pode ser resolvido racionalizando a diferença ou fazendo expansão assintótica.

Passo 2

Racionalizamos multiplicando pelo conjugado:
\sqrt{x^{2}-2x}-\sqrt{x^{2}-x} =\frac{(x^{2}-2x)-(x^{2}-x)}{\sqrt{x^{2}-2x}+\sqrt{x^{2}-x}} =\frac{-x}{\sqrt{x^{2}-2x}+\sqrt{x^{2}-x}}.

Passo 3

Para x\to -\infty temos
\sqrt{x^{2}-2x}=-x\sqrt{1-\frac{2}{x}}, \qquad \sqrt{x^{2}-x}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}}.
Substituindo na fração:
\frac{-x}{\sqrt{x^{2}-2x}+\sqrt{x^{2}-x}} =\frac{-x}{-x\bigl(\sqrt{1-\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}.

Passo 4

Quando x\to -\infty, \frac{2}{x}\to0 e \frac{1}{x}\to0, então o denominador tende a 1+1=2. Portanto o limite é
\frac{1}{2}.

Resposta

\frac12.

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