Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite no infinito:
\lim_{x\to+\infty} x \sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).
O conteúdo aqui envolve uma indeterminação do tipo \infty\cdot0. Para resolver, vamos usar a substituição de variável que transforma esse produto em uma forma que permite aplicar o limite notável
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Definimos a nova variável
t = \frac{1}{x}.
Quando x\to+\infty, temos t\to0^+. Reescrevendo a expressão em função de t:
x \sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) = \frac{1}{t}\,\sin(t) = \frac{\sin t}{t}.

Passo 3

Agora basta usar o limite notável para seno em torno de zero:
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t} = 1.
Portanto o limite original vale 1.

Resposta

1

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