Verifique se os seguintes limites existem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x|x|)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen}(x|x|)}{x^{2}}.
O conteúdo aqui é limites de funções definidas por partes, e vamos usar o fato fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1
aplicado a u=x|x|.

Passo 2

Analisando x\to0^+, temos |x|=x e portanto
x|x|=x^{2},
de modo que
\frac{\operatorname{sen}(x|x|)}{x^{2}} =\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{2}}.
Fazendo u=x^{2}\to0^+, obtemos
\lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{2}} =\lim_{u\to0^+}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 3

Analisando x\to0^-, temos |x|=-x e então
x|x|=-x^{2},
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\frac{\operatorname{sen}(x|x|)}{x^{2}} =\frac{\operatorname{sen}(-x^{2})}{x^{2}} =-\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{2}}.
Fazendo u=x^{2}\to0^+, obtemos
\lim_{x\to0^-}\frac{\operatorname{sen}(x|x|)}{x^{2}} =-\lim_{u\to0^+}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=-1.

Resposta

O limite não existe, pois o limite pela direita vale 1 e o limite pela esquerda vale -1.

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