Verifique se os seguintes limites existem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-|\operatorname{sen}(x)|}{x+|\operatorname{sen}(x)|}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{x-|\sin(x)|}{x+|\sin(x)|}
para testar se esse limite existe. Como há valor absoluto, vamos analisar separadamente o limite à direita x\to0^+ e à esquerda x\to0^-, usando a expansão de Taylor de \sin(x) em torno de 0:
\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5).

Passo 2

Limite pela direita x\to0^+:
Nesse caso \sin(x)>0, logo |\sin(x)|=\sin(x). A expressão fica
\frac{x-\sin(x)}{x+\sin(x)}.
Usando \sin(x)=x-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5), temos
x-\sin(x)=x-\Bigl(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\Bigr)=\frac{x^3}{6}+O(x^5),
x+\sin(x)=x+\Bigl(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\Bigr)=2x-\frac{x^3}{6}+O(x^5).
Portanto
\frac{x-\sin(x)}{x+\sin(x)} =\frac{\frac{x^3}{6}+O(x^5)}{2x\bigl(1-\tfrac{x^2}{12}+O(x^4)\bigr)} =\frac{x^2}{12}\,\frac{1+O(x^2)}{1+O(x^2)} \;\xrightarrow[x\to0^+]{}\;0.

Passo 3

Limite pela esquerda x\to0^-:
Aqui \sin(x)<0, logo |\sin(x)|=-\sin(x). A expressão vira
\frac{x-(-\sin(x))}{x+(-\sin(x))} =\frac{x+\sin(x)}{x-\sin(x)}.
Usando novamente \sin(x)=x-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5), obtemos
x+\sin(x)=2x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),
x-\sin(x)=x-\Bigl(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\Bigr)=\frac{x^3}{6}+O(x^5).
Logo
\frac{x+\sin(x)}{x-\sin(x)} =\frac{2x\bigl(1-\tfrac{x^2}{12}+O(x^4)\bigr)}{\frac{x^3}{6}\bigl(1+O(x^2)\bigr)} =\frac{2x}{\tfrac{x^3}{6}}\;\frac{1+O(x^2)}{1+O(x^2)} =\frac{12}{x^2}\,\bigl(1+O(x^2)\bigr) \;\xrightarrow[x\to0^-]{}\;+\infty.

Passo 4

Como
\lim_{x\to0^+}\frac{x-|\sin(x)|}{x+|\sin(x)|}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{x-|\sin(x)|}{x+|\sin(x)|}=+\infty,
os limites laterais não coincidem (nem são ambos finitos). Portanto o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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