Verifique se os seguintes limites existem: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-|\operatorname{sen}(x)|}{x+|\operatorname{sen}(x)|}
Passo 1
O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{x-|\sin(x)|}{x+|\sin(x)|}
para testar se esse limite existe. Como há valor absoluto, vamos analisar separadamente o limite à direita x\to0^+ e à esquerda x\to0^-, usando a expansão de Taylor de \sin(x) em torno de 0:
\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5).
Passo 2
Limite pela direita x\to0^+:
Nesse caso \sin(x)>0, logo |\sin(x)|=\sin(x). A expressão fica