Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}-x+4}{x^{2}-4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}-x+4}{x^{2}-4x+3}.
O conteúdo é limites no infinito de funções racionais; para resolver, vamos comparar os graus do numerador e do denominador e, em seguida, confirmar dividindo tudo pelo maior termo em x.

Passo 2

Observa-se que o grau do numerador é 3 e o do denominador é 2.
Pela teoria de limites de funções racionais, se o grau do numerador supera o do denominador, o quociente tende a \pm\infty, com sinal dado pela razão dos coeficientes líderes multiplicada por x^{(\text{diferença de graus})}ç.
Aqui os coeficientes líderes são ambos 1 e a diferença de graus é 3-2=1, de modo que o comportamento principal é
\frac{x^3}{x^2}=x\;\longrightarrow\;+\infty.
Logo, o limite é +\infty.

Passo 3

Para confirmar, dividimos numerador e denominador por x^2:
\frac{x^{3}-x+4}{x^{2}-4x+3} =\frac{x-\tfrac{1}{x}+\tfrac{4}{x^{2}}}{1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^{2}}}.
Quando x\to+\infty, os termos \tfrac{1}{x} e \tfrac{1}{x^{2}} vão a zero, restando \tfrac{x}{1}=x, que cresce sem limite. Assim, o limite confirma-se como +\infty.

Resposta

+\infty

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