Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[3]{2 \sqrt{3}-7}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a +\infty da expressão
\frac{\sqrt[3]{2\sqrt{3}-7}}{x}.
Informações dadas:
  • O numerador é a constante \sqrt[3]{2\sqrt{3}-7} (não depende de x).
  • O denominador é a variável x que tende a +\infty.
    A pergunta é: qual é o valor de
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{2\sqrt{3}-7}}{x}\,?

Passo 2

Identificar que o numerador é uma constante. Defino
a:=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-7}.
Isso significa que a expressão é simplesmente a/x. Antes de continuar, confirmo que a é um número real finito: calculemos aproximadamente (só para intuir o sinal e a finitude)
2\sqrt{3}\approx 2\cdot1{,}732=3{,}464,\qquad 2\sqrt{3}-7\approx 3{,}464-7=-3{,}536,
logo a=\sqrt[3]{-3{,}536}\approx -1{,}52. O importante é que a é um número real e finito (pode ser positivo, negativo ou zero).

Passo 3

Usar um resultado básico sobre limites: sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
Explicando por que: dado \varepsilon>0, basta escolher N=\dfrac{1}{\varepsilon}. Para todo x>N tem-se
\left|\frac{1}{x}-0\right|=\frac{1}{x}<\frac{1}{N}=\varepsilon.
Portanto \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to+\infty.

Passo 4

Rewrite a expressão como produto da constante pelo que já conhecemos:
\frac{a}{x}=a\cdot\frac{1}{x}.
Aqui a é constante (independente de x) e \dfrac{1}{x}\to 0.

Passo 5

Aplicar a regra de limites para produto de constante por função: se c é constante e f(x)\to L então c\cdot f(x)\to cL. Portanto, tomando c=a e f(x)=1/x com L=0,
\lim_{x\to+\infty}a\cdot\frac{1}{x}=a\cdot 0=0.
Se quiser uma demonstração \varepsilon- \delta: para dado \varepsilon>0, escolha N=\dfrac{|a|}{\varepsilon}. Para x>N tem
\left|\frac{a}{x}-0\right|=\frac{|a|}{x}<\frac{|a|}{N}=\varepsilon.
Isso prova diretamente que \dfrac{a}{x}\to 0.

Passo 6

Concluo que o limite pedido vale 0. Intuitivamente: qualquer constante dividida por algo que cresce sem limite tende a zero; aqui o numerador é apenas uma constante fixa e o denominador cresce sem parar.

Resposta

0

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