Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(x-2) \arctan (x)}{3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{(x-2)\arctan(x)}{3x+1}.
O conteúdo aqui é limites no infinito envolvendo a função \arctan(x) e uma razão de polinômios. Vamos usar a propriedade de que \arctan(x) tem limite finito e fatorar o termo dominante x.

Passo 2

Sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2},
pois o gráfico de \arctan(x) tende horizontalmente a \pi/2 quando x\to+\infty.

Passo 3

Para evidenciar o comportamento dominante em x, dividimos numerador e denominador por x:
\frac{(x-2)\arctan(x)}{3x+1} =\frac{x\,(1-2/x)\,\arctan(x)}{x\,(3+1/x)} =\frac{(1-2/x)\,\arctan(x)}{3+1/x}.

Passo 4

Aplicando o limite em cada fator:
  • \lim_{x\to+\infty}(1-2/x)=1
  • \lim_{x\to+\infty}(3+1/x)=3
  • \lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\pi/2
Logo,
\lim_{x\to+\infty}\frac{(1-2/x)\,\arctan(x)}{3+1/x} =\frac{1\cdot(\pi/2)}{3} =\frac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}

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