Verifique se os seguintes limites existem:
\lim _{x \rightarrow 2} \llbracket x \rrbracket

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência de
\lim_{x\to 2}\llbracket x\rrbracket,
onde \llbracket x\rrbracket é a parte inteira (função piso) de x. Para decidir se esse limite existe, vamos calcular os limites laterais x\to2^- e x\to2^+.

Passo 2

Quando x se aproxima de 2 pela esquerda x<2, a parte inteira de x mantém-se em 1. Logo,
\lim_{x\to2^-}\llbracket x\rrbracket = 1.

Passo 3

Quando x se aproxima de 2 pela direita x>2, a parte inteira de x vale 2. Assim,
\lim_{x\to2^+}\llbracket x\rrbracket = 2.

Passo 4

Como
\lim_{x\to2^-}\llbracket x\rrbracket = 1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^+}\llbracket x\rrbracket = 2,
os limites laterais não coincidem. Portanto o limite geral não existe.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{x\to 2}\llbracket x\rrbracket não existe.

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