Calcule os seguintes limites infinitos ou no infinito:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x^{5}-5 x{3}+x{2}+x-3}{x^{2}-x};

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite infinito
\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{x^{5}-5x^{3}+x^{2}+x-3}{x^{2}-x}.
O conteúdo é análise de limites infinitos, e vamos precisar estudar o comportamento do numerador e do denominador ao se aproximar de 0 pela esquerda.

Passo 2

Vamos separar a análise do numerador e do denominador. Primeiro, observe o limite do numerador quando x\to0^-:
\lim_{x\to0^-}(x^{5}-5x^{3}+x^{2}+x-3)=-3
pois todos os termos com potências de x tendem a zero e sobra -3.

Passo 3

Agora o denominador:
x^{2}-x=-x+x^{2}.
Quando x\to0^-, o termo x^{2} é pequeno comparado a -x, então x^{2}-x\approx -x. Para x<0, temos -x>0. Logo,
\lim_{x\to0^-}(x^{2}-x)=0^+\quad(\text{tende a zero pelo lado positivo}).

Passo 4

Como o numerador tende a -3 (negativo e finito) e o denominador tende a 0 pelo lado positivo, a fração tende a menos infinito:
\frac{\text{(numerador)}\to -3}{\text{(denominador)}\to0^+}\longrightarrow -\infty.

Resposta

-\infty

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