( \mathbf{1 , 0} ponto) Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}, & \text { se } x<4 \\\ \frac{1}{4} & \text { se } x=4 \\\ \frac{2}{2 \sqrt{x}+4} & \text { se } x>4 . \end{array}\right.
(a) Existe f(4)?
(b) Calcule os limites laterais quando x \rightarrow 4.
(c) Existe \lim _{x \rightarrow 4} f(x) ?
(d) A função f acima é contínua em x=4 ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\begin{cases} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}, & x<4,\\\ \frac{1}{4}, & x=4,\\\ \frac{2}{2\sqrt{x}+4}, & x>4, \end{cases}
e pede:
a) se f(4) existe;
b) os limites laterais \lim_{x\to4^-}f(x) e \lim_{x\to4^+}f(x);
c) se \lim_{x\to4}f(x) existe;
d) se f é contínua em x=4.
Para isso, vamos usar racionalização no ramo x<4 e substituição direta no ramo x>4.

Passo 2

Para x<4 temos
f(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}.
Racionalizando, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}+2:
\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} =\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} =\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} =\frac{1}{\sqrt{x}+2}.
Logo
\lim_{x\to4^-}f(x) =\lim_{x\to4^-}\frac{1}{\sqrt{x}+2} =\frac{1}{2+2} =\frac{1}{4}.

Passo 3

Para x>4 temos
f(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}+4} =\frac{2}{2(\sqrt{x}+2)} =\frac{1}{\sqrt{x}+2},
então
\lim_{x\to4^+}f(x) =\lim_{x\to4^+}\frac{1}{\sqrt{x}+2} =\frac{1}{2+2} =\frac{1}{4}.

Passo 4

Como \lim_{x\to4^-}f(x)=\tfrac14 e \lim_{x\to4^+}f(x)=\tfrac14,
temos
\lim_{x\to4}f(x)=\frac{1}{4}.

Passo 5

O valor de f em x=4 é dado no enunciado como
f(4)=\frac{1}{4}.
Como f(4)=\lim_{x\to4}f(x), a função é contínua em x=4.

Resposta

a) Sim. f(4)=\tfrac{1}{4}.
b) \lim_{x\to4^-}f(x)=\tfrac{1}{4} e \lim_{x\to4^+}f(x)=\tfrac{1}{4}.
c) Sim. \lim_{x\to4}f(x)=\tfrac{1}{4}.
d) Sim. f é contínua em x=4.

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